Mettre des fractions au même dénominateur

MATHS 5EME

Objectifs :

• Comprendre pourquoi et comment mettre des fractions au même dénominateur.
• Savoir simplifier et comparer des fractions en utilisant un dénominateur commun.

Pré-requis :

• Connaître la notion de fraction (numérateur et dénominateur).
• Savoir calculer le produit et le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres.

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1. Pourquoi mettre des fractions au même dénominateur ?

Quand on souhaite additionner, soustraire ou comparer des fractions, il est souvent nécessaire qu'elles aient le même dénominateur. Cela permet de travailler avec des parties de même taille, ce qui rend les calculs possibles et plus simples.

Exemple :
Pour comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$, il est plus facile de les transformer pour qu'elles aient le même dénominateur avant de faire la comparaison.

2. Trouver un dénominateur commun

Pour mettre des fractions au même dénominateur, on cherche un multiple commun aux dénominateurs des deux fractions. Idéalement, on utilise le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs.

Exemple de calcul du PPCM :

Si l'on souhaite mettre au même dénominateur les fractions $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$ :

• Les dénominateurs sont 4 et 6.
• On cherche le PPCM de 4 et 6 :
  • 4 : 4, 8, 12, 16, ...
  • 6 : 6, 12, 18, 24, ...
  • Le PPCM de 4 et 6 est 12.

3. Mettre les fractions au même dénominateur

Une fois le dénominateur commun trouvé, on ajuste le numérateur de chaque fraction pour obtenir des fractions équivalentes avec ce nouveau dénominateur.

Méthode :

1. Calculer le PPCM des dénominateurs.
2. Multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction pour obtenir ce dénominateur commun.

Exemple :

Mettons $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$ au même dénominateur de 12.

• Pour $\frac{3}{4}$ :

  $$\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$

• Pour $\frac{5}{6}$ :

  $$\frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$$

Ainsi, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$    et  $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$

4. Vérification et utilisation

Maintenant que les fractions ont le même dénominateur, on peut les additionner, soustraire ou comparer facilement.

Additionnons: 

$\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$ en utilisant leurs formes au dénominateur commun :

$$\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$$

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Exercices d’application :

Mettre au même dénominateur les fractions suivantes et les simplifier si possible 



     a) $\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{7}$
​
     b) $\frac{5}{8}$ et $\frac{3}{10}$

Effectuer les opérations demandées en mettant d’abord les fractions au même dénominateur :

    a) $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}$

​
    b) $\frac{7}{9}-\frac{1}{6}$

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Astuces :

• Si les dénominateurs sont des multiples l'un de l'autre, il est plus rapide d'utiliser le plus grand dénominateur comme dénominateur commun.
• Toujours vérifier si le résultat peut être simplifié.