Identités Remarquables - Factorisation

Comment factoriser une expression avec les identités remarquables?

1. Qu'est-ce que factoriser (Rappel)?

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Cela permet de simplifier des calculs ou de résoudre des équations.

Exemple : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

2. Les Identités Remarquables

Les identités remarquables sont des outils clés pour factoriser des expressions algébriques. Il y en a trois principales :

1. Carré d’une somme :

   $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

2. Carré d’une différence :

   $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
   

3. Différence de deux carrés :

   $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

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3. Comment identifier l'identité remarquable à utiliser ?

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression

• Si l’expression comporte trois termes, il s’agit probablement d’un carré d’une somme ou d’un carré d’une différence.

  • Vérifiez si le premier et le dernier termes sont des carrés parfaits ($a^2, b^2$).
  • Vérifiez si le terme du milieu correspond à $2ab$ ou $-2ab$.

• Si l’expression comporte deux termes, il s’agit probablement d’une différence de deux carrés.

  • Vérifiez si les deux termes sont des carrés parfaits séparés par un signe $-$.

Étape 2 : Factoriser

Utilisez la formule appropriée pour écrire l'expression sous forme factorisée.

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4. Exemples

Exemple 1 : Carré d’une somme

Factoriser $x^2 + 6x + 9$.

1. Identifier : Le premier terme $x^2$  et le dernier terme $9$ sont des carrés parfaits : $x^2 = x^2$ donc a² = x² , $9 = 3^2$ , donc b² = 3²
2. Vérifier le terme du milieu : $6x = 2 \times x \times 3$. donc 2ab = 6x
3. Conclusion : l'expression à factoriser correspond à la formule a² + 2ab + b² = (a = b)² donc,  ${\mathrm{<b>x</b>}}^{\mathrm{<b>2</b>}}<b>+</b>\mathrm{<b>6</b>}\mathrm{<b>x</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>9</b>}<b>=</b><b>(</b>\mathrm{<b>x</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>3</b>}{<b>)</b>}^{\mathrm{<b>2</b>}}$

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Exemple 2 : Carré d’une différence

Factoriser $y^2 - 10y + 25$

1. $\mathrm{<span\; class="katex"\; style="font-family:\; courier;\; font-size:\; large;"><span\; aria-hidden="true"\; class="katex-html"><span\; class="base"><span\; class="mord"><span\; class="msupsub"><span\; class="vlist-t"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"><span\; class="sizing\; reset-size6\; size3\; mtight"><span\; class="mord\; mtight">y\; ²et\; 25\; =\; 5² </span></span></span></span></span></span></span></span></span>sont\; des\; carrés\; parfaits.</span>}$
2. Vérifier le terme du milieu : $-10y=2\times y\times (-5)$.
3. Conclusion : ${\mathrm{<b>y</b>}}^{\mathrm{<b>2</b>}}<b>-</b>\mathrm{<b>10</b>}\mathrm{<b>y</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>25</b>}$
   

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Exemple 3 : Différence de deux carrés

Factoriser $16x^2 - 9$

1. Identifier : $16x^2 = (4x)^2$ et 9 = 3²
2. Reconnaître une différence de carrés (a² - b²): $16x^2 - 9 = (4x-3)(4x+3)$
   

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5. Cas particuliers

Si l’expression ne correspond pas directement à une identité remarquable, essayez de regrouper les termes ou de mettre un facteur commun en évidence.

Exemple : $2x^2 + 8x + 8$

1. Factorisez par $2$ : $2(x^2 + 4x + 4)$
   
2. Puis factorisez l’intérieur : $2(x+2)^2$
   

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6. Entraînez-vous

Essayez de factoriser les expressions suivantes :

1. $x^2 - 25$
   
2. $9y^2 + 12y + 4$
3. $4a^2 - 16$
   

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Correction :

1. $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
   
2. $9y^2 + 12y + 4 = (3y+2)^2$
   
3. $$4a2−16=4(a2−4)=4(a−2)(a+2)4a^2 - 16 = 4(a^2 - 4) = 4(a-2)(a+2)