Identités remarquables - Exercices Corrigés

EXERCICES

Exercice 1 : Développer les expressions

Développez et simplifiez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

1. $(x + 5)^2$
   
2. $(3y-2{)}^2$
3. $(2x + 7)(2x - 7)$
   
4. $(5a+4b{)}^2$
5. $(7 - 3x)^2$
   

Exercice 2 : Factoriser les expressions

Factorisez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

1. $x^2 + 10x + 25$
   
2. $9y^2 - 24y + 16$
3. $49-16z^2$
4. $25a^2 + 30a + 9$
   
5. $81x^2 - 1$
   

Exercice 3 : Résoudre des équations

Résolvez les équations suivantes en utilisant les identités remarquables pour simplifier les expressions.

1. $(x + 3)^2 = 49$
   
2. $(2y - 5)^2 = 16$
   
3. $4z^2 - 36 = 0$
   
4. $(3a + 4)^2 = 64$
   
5. $(5b - 7)(5b + 7) = 0$
   

Exercice 4 : Problèmes

1. Soit un carré dont la longueur du côté est $x + 4$. Exprimez l'aire de ce carré en fonction de $x$, puis développez l'expression.

2. Soit un rectangle de longueur $a + 3$ et de largeur $a - 3$. Exprimez l'aire du rectangle en fonction de $a$, puis simplifiez l'expression.

3. La somme des carrés de deux nombres est exprimée par la formule suivante : $(x + 2)^2 + (x - 2)^2$. Développez et simplifiez cette expression.

4. Factorisez l'expression suivante et trouvez les valeurs de $x$ pour lesquelles elle est nulle : $4x^2 - 9$
   

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• Corrigés

Exercice 1 - Développement

1. $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$
   
2. $(3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4$
   
3. $(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49$
   
4. $(5a + 4b)^2 = 25a^2 + 40ab + 16b^2$
   
5. $(7 - 3x)^2 = 49 - 42x + 9x^2$
   

Exercice 2 - Factorisation

1. $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$
   
2. $9y^2 - 24y + 16 = (3y - 4)^2$
   
3. $49 - 16z^2 = (7 + 4z)(7 - 4z)$
   
4. $25a^2 + 30a + 9 = (5a + 3)^2$
   
5. $81x^2 - 1 = (9x + 1)(9x - 1)$
   

Exercice 3 - Résolution d'équations

1. $(x + 3)^2 = 49$ ⟹ $x + 3 = \pm 7$ ⟹ $x = 4$ ou $x = -10$
   
2. $(2y - 5)^2 = 16$ ⟹ $2y - 5 = \pm 4$ ⟹ $y = 4.5$ ou $y = 0.5$
   
3. $4z^2 - 36 = 0$ ⟹ $z^2 = 9$ ⟹ $z = 3$ ou $z = -3$
   
4. $(3a + 4)^2 = 64$ ⟹ $3a + 4 = \pm 8$ ⟹ $a = \frac{4}{3}$ ou $a = -4$
   
5. $(5b - 7)(5b + 7) = 0$ ⟹ $b = \frac{7}{5}$ ou $b = -\frac{7}{5}$