Triangle Rectangles - Maths 4ème

 Rappel

On dit qu’un triangle est rectangle lorsque l’un de ses 3 angles est droit                                             

Le triangle ABC est rectangle en A,

• BÂC est l'angle droit
•  AB et AC sont les côtés de l'angle droit
•  BC( le côté le plus grand est appelé l'hypoténuse

​

Triangle rectangle et cercle circonscrit

On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.
Son centre est le point de concours des médiatrices des 3 cotés de ce triangle.

Propriété: SI un triangle ABC est rectangle en A, alors ABC est inscrit dans un demi cercle de diamètre [BC]
 le diamètre BC est l’hypoténuse du triangle ABC

La Réciproque: SI ABC est un triangle inscrit dans un  cercle de diamètre [BC],
alors ABC est rectangle en A.

Théroème de Pythagore

SI un triangle ABC est rectangle en A, alors Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l’angle droit.

AB² + AC² = BC².

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3cm et AC = 4cm.

Puisque le triangle ABC est rectangle en A.

Alors d'après le théorème de Pythagore:

AB² + AC² = BC²

On a alors :
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25.
Donc BC = 5cm.

2. Réciproque: SI un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC² (c’est à dire « le carré du coté le plus long est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés »),
ALORS il est rectangle en A.

Exemple: ABC est un triangle tel que : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm

 [BC] est le côté le plus long du triangle ABC. On a : 
BC² = 10² = 100 
et AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
Donc BC² = AB² + AC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 

Triangle rectangle et médiane

Rappel: La médiane d'un triangle rectangle est la droite issue du sommet d'un angle du rectangle et qui coupe le côté opposé en son milieu

Régle:  Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle  droit  est égale à la moitié de son hypothénuse

Les Puissances - Maths 4ème

1. Puissance d'un nombre relatif

Définition

 n s'appelle exposant de a 

 

Exemple:

Remarque

Lorsque a est un nombre négatif: 

Exemple:

1. n est pair​

2. n est impair

 

2. Puissance d'un nombre avec un exposant négatif

Exemple:

3 . PUISSANCE DE 10

• Propriètés

 

               

Et

 

Cosinus D'un Angle

Définition 

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à cet angle (l'angle aigu) sur l'hypoténuse.

 

Le triangle ABC rectangle en B, écrire la formule donnant le cosinus de l'angle  :

- AB  est le côté adjacent à l'angle aigu Â

- AC est l'hypoténuse( le côté le plus grand du triangle)

Donc :

 

Pourquoi utiliser la formule du cosinus?

1. Pour calculer la mesure d'une longueur( côté adjacent d'un angle ou l'hypoténuse).

​Exemple: soit le triangle MNP rectangle en M, l'angle N = 30°,

NP = 6 cm. Calculer la longueur de MN arrondie au dixième près?

Réponse: 

   

 

  

 

2. Pour Calculer la mesure d'un angle

Exemple: Soit un triangle RST rectangle en R, RS = 4 cm, ST = 6 cm

Calculer la mesure de L'angle S au degré?

 

Réponse:

  

 

Pour trouver la mesure de l'angle  il faut utiliser la fonction cos^-1 de la calculatrice. 

Elle s’obtient souvent en tapant sur les touches

 

Dans l'exemple que nous venons de voir pour trouver la mesure de l'angle S, nous avons taper cos^-1(4/6)

 

Remarque: 

La formule du cosinus d’un angle dans un triangle rectangle nous permet de calculer soit la longueur d’un côté(Exemple1), soit un des angles de ce triangle(Exemple2).

 

Bientôt La suite de la leçon, en attendant  entraînez-vous à répondre au Quiz ici

 

 

                            

Les Fonctions affines

 

La fonction affine de coefficients a et b et noté x → ax + b, on la désigne souvent par une lettre par exemple f et on peut la noter aussi sous cette forme: f(x) = ax + b

Exemple: la fonction affine g, de coefficients 3 et -2 s'écrit : g(x) = 3x - 2

Remarque:

• Si b = o, On obtiens une fonction sous la forme de f(x)= ax ce qui correspond à une fonction linéaire. D'où une fonction linéaire est aussi une fonction linéaire avec b = 0

 

• Si a = 0  on obtiens une fonction constante f(x) = b

 

• Si a = b = 0 on obtiens une fonction nulle f(x) = 0

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine est une droite. l'équation de cette de droite s'écrit sous la forme: y = ax + b.

• x est l'abscisse et y et l'ordonnée
• a s'appelle le coefficient directeur et b s'appelle l'ordonnée à l'origine

 

Exercice d'application: dans un repère, trace la représentation graphique de la fonction affine f x → -x +2

Méthode

• On donne 2 ou 3 valeurs à x supposons 0, 1 et 2
• On calcule leurs images par la fonction f: f(o) = -0 + 2 = 2, f(1) = -1 + 2 = +1, f(2) = - 2 + 2 = 0
• Donc l'image de 0 est 2, l'mage de 1 est - 3 et l'image 2 est -8 

x	0	1	2
f(x)	2	+1	0

 

 

 

Calcul littéral - Developper , Réduire Maths 4ème

Définition

• Développer une expression  ou un produit revient à les transformer en une somme algébrique

Exemple: 

Développer et réduire les expressions suivante

A = 5(2x +3)

B = - 3(x + 1) - 2(5x - 3)

Solution: 

A = 5(2x +3) 

on distribue 5 à 2x ensuite à 3

    = 5x2x + 5x3

On effectue l'opération et on réduit si nécessaire

   A = 10x +15

B = - 3(6x + 1) - 2(5x - 3)

    = -3x6x -3x1 -2x5x +2x3

    = -18x -3 -10x -6

Dans ce deuxième cas , pour réduire l'expression il faut regrouper les termes en x ensemble et les nombres entiers ensemble

B = -18x -10x -3 -6 

On effectue l'opération pour obtenir une expression réduites

B = -28x -9