Rappel
On dit qu’un triangle est rectangle lorsque l’un de ses 3 angles est droit
Le triangle ABC est rectangle en A,
- BÂC est l'angle droit
- AB et AC sont les côtés de l'angle droit
- BC( le côté le plus grand est appelé l'hypoténuse
Triangle rectangle et cercle circonscrit
On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.
Son centre est le point de concours des médiatrices des 3 cotés de ce triangle.
Propriété: SI un triangle ABC est rectangle en A, alors ABC est inscrit dans un demi cercle de diamètre [BC]
le diamètre BC est l’hypoténuse du triangle ABC
La Réciproque: SI ABC est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [BC],
alors ABC est rectangle en A.
Théroème de Pythagore
SI un triangle ABC est rectangle en A, alors Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l’angle droit.
AB² + AC² = BC².
Exemple
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3cm et AC = 4cm.
Puisque le triangle ABC est rectangle en A.
Alors d'après le théorème de Pythagore:
AB² + AC² = BC²
On a alors :
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25.
Donc BC = 5cm.
2. Réciproque: SI un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC² (c’est à dire « le carré du coté le plus long est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés »),
ALORS il est rectangle en A.
Exemple: ABC est un triangle tel que : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm
[BC] est le côté le plus long du triangle ABC. On a :
BC² = 10² = 100
et AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
Donc BC² = AB² + AC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Triangle rectangle et médiane
Rappel: La médiane d'un triangle rectangle est la droite issue du sommet d'un angle du rectangle et qui coupe le côté opposé en son milieu
Régle: Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de son hypothénuse |