Comment démontrer qu'un triangle est rectangle?

 

Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on utilise les 3 propriétés ci- dessous :

1. Réciproque du théorème de Pythagore

• Si dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

 

Dans le triangle ci-dessous, le côté le plus long est BC donc: si BC² = AB² +AC²  alors le triangle ABC est rectangle en A et admet BC comme son hypoténuse

Pour mieux comprendre, veuillez regarder cette vidéo↓

2. La médiane

• Si dans un triangle la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté , alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.

3. Cercle et Triangle

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un des côtés du triangle est un diamètre du cercle alors le triangle est rectangle.

ABC est un triangle inscrit dans un cercle, son côté AC est le diamètre de ce cercle, alors le triangle ABC est rectangle en B

Démontrer qu'un triangle est rectangle

 Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on peut utiliser les 3 propriétés ci- dessous en fonction des données dont on dispose:

1. Réciproque du théorème de Pythagore

• Si dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Dans le triangle ci-dessous, le côté le plus long est BC donc: 

si BC² = AB² +AC²  alors le triangle ABC est rectangle en A et admet BC comme son hypoténuse

Pour mieux comprendre, veuillez regarder cette vidéo↓

2. La médiane

• Si dans un triangle la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté , alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.

Si AM = BC ÷ 2, Alors le triangle ABC est rectangle en A

     

3. Cercle et Triangle

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un des côtés du triangle est un diamètre du cercle alors le triangle est rectangle.

ABC est un triangle inscrit dans un cercle

Son côté BC est le diamètre de ce cercle

On déduit que ce triangle est rectangle en A

Triangle Rectangles - Maths 4ème

 Rappel

On dit qu’un triangle est rectangle lorsque l’un de ses 3 angles est droit                                             

Le triangle ABC est rectangle en A,

• BÂC est l'angle droit
•  AB et AC sont les côtés de l'angle droit
•  BC( le côté le plus grand est appelé l'hypoténuse

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Triangle rectangle et cercle circonscrit

On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.
Son centre est le point de concours des médiatrices des 3 cotés de ce triangle.

Propriété: SI un triangle ABC est rectangle en A, alors ABC est inscrit dans un demi cercle de diamètre [BC]
 le diamètre BC est l’hypoténuse du triangle ABC

La Réciproque: SI ABC est un triangle inscrit dans un  cercle de diamètre [BC],
alors ABC est rectangle en A.

Théroème de Pythagore

SI un triangle ABC est rectangle en A, alors Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l’angle droit.

AB² + AC² = BC².

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3cm et AC = 4cm.

Puisque le triangle ABC est rectangle en A.

Alors d'après le théorème de Pythagore:

AB² + AC² = BC²

On a alors :
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25.
Donc BC = 5cm.

2. Réciproque: SI un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC² (c’est à dire « le carré du coté le plus long est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés »),
ALORS il est rectangle en A.

Exemple: ABC est un triangle tel que : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm

 [BC] est le côté le plus long du triangle ABC. On a : 
BC² = 10² = 100 
et AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
Donc BC² = AB² + AC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 

Triangle rectangle et médiane

Rappel: La médiane d'un triangle rectangle est la droite issue du sommet d'un angle du rectangle et qui coupe le côté opposé en son milieu

Régle:  Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle  droit  est égale à la moitié de son hypothénuse