Voici un tableau récapitulatif des volumes
des solides usuels
EXERCICE 1 : (Brevet 2009)
1. Développer (x – 1)² Justifier que 99² = 9 801 en utilisant le développement précédent.
2. Développer (x – 1) (x + 1) Justifier que 99 × 101 = 9 999 en utilisant le développement précédent.
EXERCICE 2 : (Brevet 2009)
On considère le programme de calcul ci-dessous :
Programme de calcul :
– Choisir un nombre de départ
– Ajouter 1
– Calculer le carré du résultat obtenu
– Lui soustraire le carré du nombre de départ
– Ecrire le résultat final
1. a. Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final.
b. Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?
c. Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x.
2. On considère l’expression P = (x + 1)² – x²
Développer puis réduire l’expression P.
3. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?
Corrigés
EXERCICE 1:
1. (x – 1)² = x² – 2 × x × 1 + 1² = x² – 2x + 1
Si x = 100 alors (x – 1)² = (100 – 1)² = 99² = 100² – 2 × 100 + 1 = 10 000 – 200 + 1 = 9 801
2. (x – 1) (x + 1) = x² – 1² = x² – 1
Si x = 100 alors (x – 1)(x + 1) = (100 – 1)( 100 + 1) = 99 × 101 = 100² – 1 = 10 000 – 1 = 9 999
EXERCICE 2:
1. a. le nombre de départ est 1.
1 + 1 = 2
2² = 4
4 – 1² = 4 – 1 = 3
Le résultat final est 3.
b. Le nombre de départ est 2.
2 + 1 = 3
3² = 9
9 – 2² = 9 – 4 = 5
Le résultat final est 5.
c. Le nombre de départ est x.
On ajoute 1 : on obtient x + 1
On calcule le carré du résultat obtenu : on obtient (x + 1)²
On soustrait le carré du nombre de départ : on obtient (x + 1)² – x²
Le résultat final est: x + 1)² – x²
2. P = (x + 1)² – x² = x² + 2 × x × 1 + 1² – x² = x² + 2x + 1 – x² = 2x + 1
3. P = 15
2x + 1 = 15
2x = 15 – 1
2x = 14
x = 14/ 2 = 7
Pour obtenir 15 en résultat final, il faut choisir 7comme nombre de départ
Exercice type brevet ( Brevet 2020
Autres Exercices type Brevet
Exercice 1 :
On propose le programme de calcul suivant :
1. On choisit le nombre -4, montrer que le résultat obtenu est 100.
2. On choisit comme nombre de départ 15, quel résultat obtient-on ?
3. Quel nombre pourrait-on choisir pour que le résultat du programme soit 144 ?
Justifier la réponse
Exercice 2 :
Tom doit calculer 3,5².
« Pas la peine de prendre la calculatrice ,dit Julie, tu n’as qu’à effectuer le produit de 3 par 4 et ajouter 0,25 ».
1. Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5.
2. Proposer une façon simple de calculer 7,5² et donner le résultat.
3. Julie propose la conjecture suivante ( n+ 0,5)² = n(n +1) +0,25 n étant un nombre positif.
Prouver que la conjecture est vraie quelque soit le nombre n.
Exercice 3
On considère l'expression C = 2(2x + 1) + (2x + 1)(2x + 3).
1. Développer et réduire l'expression C.
2. Factoriser l'expression C.
3. Résoudre l'équation (2x + 1)(2x + 5)= 0.
Qu'est ce qu'une probabilité?
Une probabilité permet d'estimer la proportion de chance
qu'un événement de se produire.
Propriété
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Elle peut être exprimée par un nombre en écriture
fractionnaire, en écriture décimale ou en pourcentage
Pour calculer une probabilité:
Si on tire au hasard une boule dans un sac contenant
6 boules dont 4 sont bleues et 2 sont vertes.
Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue?
Réponse:
On détermine tous les résultats possibles: 6
la probabilité de tirer une boule bleue est de 4 sur 6
qu'on notera sous forme fractionnaire: 4/6 qui veut dire qu'on a
4 chances sur 6 de tirer une boule bleue.
6 est le nombre d'issues possibles
4 est le nombre d'issues favorable
Expérience aléatoire
Définition: Une expérience aléatoire est une expérience
dont on connait toutes les issues possibles, sans pouvoir déterminer de manière certaine laquelle va se produire.
Exemple: lancer un dé à 6 face et relever le nombre obtenu est une expérience aléatoire, on sait qu'il y a 6 issues possibles mais on ne sait pas laquelle va se produire
Evènement
Définition:
Exercice 1
Factoriser les expressions suivantes :
A = (x + 1)(2x − 1) (x + 1)(3 x - 2)
B = (3x - 7)(2x + 1) − (3x - 7)(5x − 7)
C = (8x + 3)(5x - 7) − 3(8x + 3)(2x − 1)
Exercice 2
Factoriser les expressions suivantes :
D = (2x + 3)² + (x – 2)(2x + 3)
E = (2x – 7) – (5x + 1)(2x – 7)
F = 16y² – 4y
G = (2y – 3)² + (2y – 3)(y – 1) + 2y – 3
Exercice 3
Factoriser les expressions suivantes :
I = (x – 4)² – (2x – 1)²
J = 3(3x - 4)² - 81
K = 2x² - 4(5x + 1)²
Exercice 4
Factoriser les expressions suivantes :
L = 25x² - 9
M = (4 – x)² – 16
N = 64 - 5(x + 1)²
Définition
soit un nombre a quelconque, la relation qui à tout nombre x, associe le nombre ax , s'appelle fonction linéaire et noté: f : x → ax ou f(x) = ax.
a est appelé coefficient
Notation
f : x → ax qui se lit f est la fonction qui à x associe ax
on la note:
f(x) = ax
f(x) est l'image de x par la fonction f
x est l'antécédant de f(x)
Remarque : La fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité, les deux grandeurs: l'image est l'antécédent sont proportionnels
Exemple
La fonction linéaire f de coefficient a = 4 s'écrit f(x) = 4x, on peut également
l'écrire : f : x → 4x
Représentation graphique d'une fonction linéaire
La représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l’origine et d’équation y = ax
a est appelé coefficient directeur
Exemple
soit la fonction f(x)= 2x , tracer la représentation graphique de la fonction f de coefficient directeur a = 2
Méthode
Pour trouver les coordonnés de la droite passant par l'origine
La droite (OA) est la représentation graphique de la fonction linéaire f
Définition: dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent sur l'hypoténuse.
Sinus d'un angle aigu
Définition: dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté opposé sur l'hypoténuse.
Tangente d'un angle aigu
Définition: dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égal au quotient du côté opposé sur le côté adjacent.
Il existe un moyen mnémotechnique pour retenir ces trois formules:
SOH CAH TOA
SOH: CAH TOA:
S: sinus C: cosinus T: tangente
O: opposé A: adjacent O: opposé
H: hypoténuse H: Hypoténuse A: adjacent
On peut également utiliser CAH SOH TOA
Dans cette vidéo nous allons aborder les 2 autres identités remarquables:
(a - b)² = a²- 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
La première identité remarquable est dans cette vidéo
Définition
les nombres entiers naturels sont des nombres qui s'écrivent sans virgule, ni barre de fraction ou radical
Exemple: 24;346, 200.....
Définition
Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans virgule , ni barre de fraction, ni radical...).
les signes positif (+) et négatif(-) indique la position du nombre sur un axe par rapport à 0
Définition
Un nombre décimal est un nombre composé d'une partie entière comprenant des chiffres situés avant la virgule ; et d'une partie décimale composée de chiffres situés après la virgule.
Exemple 3,5 ; 56,2 0,507 ....etc
Définition
Un nombre « rationnel » est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers relatifs a/b.
Effectuer une division euclidienne de a par b c'est trouver deux entiers q et r tel que a : b = q + r où r < b où q est le quotient et r est le reste
a est appelé le dividende et b est le diviseur
Définition
Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseurs commun à ces 2 nombres. On le note PGCD (a ; b) |
Pour la méthode de calcul du PGCD, je vous invite à aller voir la ici: PGCD de deux nombres