Révision Brevet - Notions Essentielles d’Arithmétiques

 

Identités remarquables - Exercices Corrigés

EXERCICES

Exercice 1 : Développer les expressions

Développez et simplifiez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

1. $(x + 5)^2$
   
2. $(3y-2{)}^2$
3. $(2x + 7)(2x - 7)$
   
4. $(5a+4b{)}^2$
5. $(7 - 3x)^2$
   

Exercice 2 : Factoriser les expressions

Factorisez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

1. $x^2 + 10x + 25$
   
2. $9y^2 - 24y + 16$
3. $49-16z^2$
4. $25a^2 + 30a + 9$
   
5. $81x^2 - 1$
   

Exercice 3 : Résoudre des équations

Résolvez les équations suivantes en utilisant les identités remarquables pour simplifier les expressions.

1. $(x + 3)^2 = 49$
   
2. $(2y - 5)^2 = 16$
   
3. $4z^2 - 36 = 0$
   
4. $(3a + 4)^2 = 64$
   
5. $(5b - 7)(5b + 7) = 0$
   

Exercice 4 : Problèmes

1. Soit un carré dont la longueur du côté est $x + 4$. Exprimez l'aire de ce carré en fonction de $x$, puis développez l'expression.

2. Soit un rectangle de longueur $a + 3$ et de largeur $a - 3$. Exprimez l'aire du rectangle en fonction de $a$, puis simplifiez l'expression.

3. La somme des carrés de deux nombres est exprimée par la formule suivante : $(x + 2)^2 + (x - 2)^2$. Développez et simplifiez cette expression.

4. Factorisez l'expression suivante et trouvez les valeurs de $x$ pour lesquelles elle est nulle : $4x^2 - 9$
   

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• Corrigés

Exercice 1 - Développement

1. $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$
   
2. $(3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4$
   
3. $(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49$
   
4. $(5a + 4b)^2 = 25a^2 + 40ab + 16b^2$
   
5. $(7 - 3x)^2 = 49 - 42x + 9x^2$
   

Exercice 2 - Factorisation

1. $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$
   
2. $9y^2 - 24y + 16 = (3y - 4)^2$
   
3. $49 - 16z^2 = (7 + 4z)(7 - 4z)$
   
4. $25a^2 + 30a + 9 = (5a + 3)^2$
   
5. $81x^2 - 1 = (9x + 1)(9x - 1)$
   

Exercice 3 - Résolution d'équations

1. $(x + 3)^2 = 49$ ⟹ $x + 3 = \pm 7$ ⟹ $x = 4$ ou $x = -10$
   
2. $(2y - 5)^2 = 16$ ⟹ $2y - 5 = \pm 4$ ⟹ $y = 4.5$ ou $y = 0.5$
   
3. $4z^2 - 36 = 0$ ⟹ $z^2 = 9$ ⟹ $z = 3$ ou $z = -3$
   
4. $(3a + 4)^2 = 64$ ⟹ $3a + 4 = \pm 8$ ⟹ $a = \frac{4}{3}$ ou $a = -4$
   
5. $(5b - 7)(5b + 7) = 0$ ⟹ $b = \frac{7}{5}$ ou $b = -\frac{7}{5}$

Volume : Sphere, Pyramide,Cone, Prisme

 Voici un tableau récapitulatif des volumes

 des solides usuels

Calcul littéral - Exercices Type Brevet

EXERCICE 1 : (Brevet 2009)

 1. Développer (x – 1)² Justifier que 99² = 9 801 en utilisant le développement précédent. 

2. Développer (x – 1) (x + 1) Justifier que 99 × 101 = 9 999 en utilisant le développement précédent.

EXERCICE 2 : (Brevet 2009) 

On considère le programme de calcul ci-dessous : 

 Programme de calcul :

 – Choisir un nombre de départ 

– Ajouter 1 

– Calculer le carré du résultat obtenu

 – Lui soustraire le carré du nombre de départ 

– Ecrire le résultat final

 1. a. Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. 

    b. Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?

    c. Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. 

2.  On considère l’expression P = (x + 1)² – x²

 Développer puis réduire l’expression P. 

3. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?

Corrigés

EXERCICE 1: 

1. (x – 1)² = x² – 2 × x × 1 + 1² = x² – 2x + 1

Si x = 100 alors (x – 1)² = (100 – 1)² = 99² = 100² – 2 × 100 + 1 = 10 000 – 200 + 1 = 9 801

2. (x – 1) (x + 1) = x² – 1² = x² – 1 

Si x = 100 alors (x – 1)(x + 1) = (100 – 1)( 100 + 1) = 99 × 101 = 100² – 1 = 10 000 – 1 = 9 999

EXERCICE 2: 

1. a. le nombre de départ est 1. 

 1 + 1 = 2

 2² = 4

 4 – 1² = 4 – 1 = 3

 Le résultat final est 3.

 b. Le nombre de départ est 2. 

 2 + 1 = 3

 3² = 9 

 9 – 2² = 9 – 4 = 5 

 Le résultat final est 5.

 c. Le nombre de départ est x.

 On ajoute 1 : on obtient x + 1

 On calcule le carré du résultat obtenu : on obtient (x + 1)² 

 On soustrait le carré du nombre de départ : on obtient (x + 1)² – x² 

 Le résultat final est:  x + 1)² – x² 

2. P = (x + 1)² – x² = x² + 2 × x × 1 + 1² – x² = x² + 2x + 1 – x² = 2x + 1 

3. P = 15 

2x + 1 = 15

 2x = 15 – 1

 2x = 14 

x = 14/ 2 = 7

 Pour obtenir 15 en résultat final, il faut choisir 7comme nombre de départ 

Exercice type brevet ( Brevet 2020

Autres Exercices type Brevet

Exercice 1 :

 On propose le programme de calcul suivant : 

•  Choisir un nombre 
•  Soustraire 6 
• Calculer le carré du résultat obtenu

 1. On choisit le nombre -4, montrer que le résultat obtenu est 100. 

2. On choisit comme nombre de départ 15, quel résultat obtient-on ?

 3. Quel nombre pourrait-on choisir pour que le résultat du programme soit 144 ? 

Justifier la réponse 

Exercice 2 :

 Tom doit calculer 3,5².

 « Pas la peine de prendre la calculatrice ,dit Julie, tu n’as qu’à effectuer le produit de 3 par 4 et ajouter 0,25 ». 

1. Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5. 

2. Proposer une façon simple de calculer 7,5² et donner le résultat. 

3. Julie propose la conjecture suivante ( n+ 0,5)² = n(n +1) +0,25 n étant un nombre positif. 

Prouver que la conjecture est vraie quelque soit le nombre n. 

Exercice 3

On considère l'expression C = 2(2x + 1) + (2x + 1)(2x + 3).

1. Développer et réduire l'expression C.

2. Factoriser l'expression C.

3. Résoudre l'équation (2x + 1)(2x + 5)= 0.

Probabilités - Maths 3ème

Qu'est ce qu'une probabilité?

Une probabilité permet d'estimer la proportion de chance 

qu'un événement de se produire.

Propriété

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

Elle peut être exprimée par un nombre en écriture

fractionnaire, en écriture décimale ou en pourcentage

• Calcul d'une probabilité

Pour calculer une probabilité:

•  il faut déterminer quels sont tous les résultats possibles d'un événement
•  Ensuite , il faut déterminer le nombre de chance

 qu'un évènement donné va se produire 

Exemple:

Si on tire au hasard une boule dans un sac contenant 

6 boules dont 4 sont bleues et 2 sont vertes.

Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue?

Réponse:

On détermine tous les résultats possibles: 6

la probabilité de tirer une boule bleue est de 4 sur 6 

qu'on notera sous forme fractionnaire: 4/6 qui veut dire qu'on a

4 chances sur 6 de tirer une boule bleue.

6 est le nombre d'issues possibles

4 est le nombre d'issues favorable

Expérience aléatoire

Définition: Une expérience aléatoire est une expérience 

dont on connait toutes les issues possibles, sans pouvoir déterminer de manière certaine laquelle va se produire.

Exemple: lancer un dé à 6 face et relever le nombre obtenu est une expérience aléatoire, on sait qu'il y a 6 issues possibles mais on ne sait pas laquelle va se produire

Evènement

Définition:

• Un évènement est l'ensemble des issues d’une même expérience aléatoire.

• Evénement élémentaire est un événement réalisé par une seule et unique issue de l’expérience

On lance un dé à 6 faces

1.  l'évènement "le nombre 3 est obtenu" n'est réalisé qu'une seule fois, c'est donc un évènement élémentaire
2. L'évènement "un nombre pair est obtenu" est réalisé 3 fois par les nombres 2, 4, 6, ce n'est donc pas une évènement élémentaire

• Evènement certains est un évènement réalisé par toutes les les issues, quelque soit l'issue, il va se produire

L'événement"un nombre à un seul chiffre est obtenu" est un évènement certain

Factorisation - Exercices - Maths 3ème

Exercice 1

 Factoriser les expressions suivantes :

 A = (x  + 1)(2x − 1) (x +  1)(3 x - 2)

 B = (3x - 7)(2x + 1) − (3x - 7)(5x − 7) 

 C = (8x + 3)(5x - 7) − 3(8x + 3)(2x − 1)

Exercice 2

 Factoriser les expressions suivantes : 

 D = (2x + 3)² + (x – 2)(2x + 3)

 E = (2x – 7) – (5x + 1)(2x – 7)

 F = 16y² – 4y  

 G = (2y – 3)² + (2y – 3)(y – 1) + 2y – 3

Exercice 3

 Factoriser les expressions suivantes :

 I = (x – 4)² – (2x – 1)²

 J = 3(3x - 4)² - 81

 K = 2x² - 4(5x + 1)²

Exercice 4

Factoriser les expressions suivantes :

L = 25x² - 9

M = (4 – x)² – 16

N = 64 - 5(x + 1)²

Fonction linéiare Maths 3ème

 ​Définition

soit un nombre a quelconque, la relation qui à tout nombre x, associe le nombre ax ,  s'appelle fonction linéaire et noté:  f : x → ax   ou   f(x) = ax.

a est appelé coefficient 

Notation

f : x → ax qui se lit f est la fonction qui à x associe ax 

on la note:

f(x) = ax

f(x) est l'image de x par la fonction f

x est l'antécédant de f(x)

Remarque : La fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité, les deux grandeurs: l'image est l'antécédent sont proportionnels

 

Exemple

La fonction linéaire f de coefficient a = 4 s'écrit f(x) = 4x, on peut également

l'écrire : f : x → 4x

 

Représentation graphique d'une fonction linéaire

La représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l’origine et d’équation y = ax

a est appelé coefficient directeur

Exemple

soit la fonction f(x)= 2x , tracer la représentation graphique de la fonction f de coefficient directeur a = 2

Méthode

Pour trouver les coordonnés de la droite passant par l'origine

• On commence par donner une valeur quelconque à x' l'abscisse) par exemple x = 1
• On remplace x par sa valeur 
• On calcule y (l'ordonnée), l'image de 1 par la fonction f: f(1) = 2×1 = 2 donc y = 1 
• On obtiens ainsi les coordonnés(x;y) du point qu'on appellera Aet qu'on notera: A(1;2)
• On les reporte sur le repère
• On relie le point A à l'origine pour tracer la droite représentant la fonction f(x) = 2x

La droite (OA) est la représentation graphique de la fonction linéaire f

​

Trigonométrie Maths 3ème

 

Triangle Rectangle Rappel
Soit le triangle ABC , considérons l'angle :

• [AC] est l'hypoténuse 
• Le côté opposé de l'angle ABC est [AB]
• Le côté adjacent à l'angle est [BC]​
  
  
  
  

Cosinus d'un angle aigu

Définition: dans un triangle rectangle,  le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent sur l'hypoténuse.

Sinus d'un angle aigu

Définition: dans un triangle rectangle,  le sinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté opposé sur l'hypoténuse.

Tangente d'un angle aigu

Définition: dans un triangle rectangle,  la tangente d'un angle aigu est égal au quotient du côté opposé sur le côté adjacent.

Comment retenir ces trois formules 

Il existe un moyen mnémotechnique pour retenir ces trois formules:

SOH CAH TOA

SOH:                             CAH                  TOA:

S: sinus                             C: cosinus                         T: tangente

O: opposé           A: adjacent             O: opposé

H: hypoténuse       H: Hypoténuse           A: adjacent 

On peut également utiliser CAH SOH TOA   

Les Identités Remarquables

Les identités remarquables servent en général à simplifier

certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions.

Elles sont au nombre de 3:

• Le carré de la somme de 2 nombres

Propriété: le carré de la somme de deux nombres égale la somme de leurs carrés augmentée du double produit de ces deux nombres.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Démonstration:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + a b + b a + b² = a² + 2 a b + b²

• Le carré de la différence de 2 nombres

Le carré de la différence de deux nombres égale la somme de leurs carrés diminuée du double du produit de ces deux nombres. 

(a - b)² = a²- 2ab + b²

Démonstration:

(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - a b - b a + b² = a² + 2 a b + b²

• Produit de la somme et de la différence de 2 nombres

( a + b ) ( a – b ) = a² – b² 

Démonstration:

(a + b)(a - b)  = a² - a b + b a - b² = a²- b²

Identités Remarquables en vidéo - 1ère Partie

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Identités Remarquables - 2ème Partie

Dans cette vidéo nous allons aborder les 2 autres identités remarquables:

(a - b)² = a²- 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

La première identité remarquable est dans cette vidéo

 

Entiers et Rationnels

1/ Les nombres entiers

• Les nombres entiers naturels

​Définition

les nombres entiers naturels sont des nombres qui s'écrivent sans virgule, ni barre de fraction ou radical

Exemple: 24;346, 200.....

• Les nombres entiers relatifs

​Définition

Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans virgule , ni  barre de fraction, ni radical...).

les signes positif (+) et négatif(-) indique la position du nombre sur un axe par rapport à 0

• Les nombres positifs sont situés à droite de 0
• Les nombres négatif sont situés 0 gauche de 0
• Le nombre 0 est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif

 

2/Les nombres décimaux

Définition

Un nombre décimal est un nombre composé d'une partie entière comprenant des chiffres situés avant la virgule ; et d'une partie décimale composée de chiffres situés après la virgule.

 Exemple 3,5 ; 56,2 0,507 ....etc

3/ Les nombres Rationnels

Définition

Un nombre « rationnel » est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers relatifs a/b.

• Multiples Diviseurs :

Définition :

a et b sont deux entiers naturels (non nuls). SI a=b × c avec c un entier ALORS  b est un diviseur de a et a est un multiple de b. Exemple : 15 = 5 × 3 donc 15 est un multiple de 5 ; 15 est divisible par 5 et par 5 et 3 sont appelés diviseurs

• PGCD de deux nombres

Division Euclidienne

Effectuer une division euclidienne de a par b c'est trouver deux entiers q et r tel que a : b = q + r où r < b  où q est le quotient et r est le reste

a est appelé le dividende et b est le diviseur

 

• Calcul du PGCD 

   Définition

Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseurs commun à ces 2 nombres. On le note PGCD (a ; b)

Pour la méthode de calcul du PGCD, je vous invite à aller voir la ici: PGCD de deux nombres