Identités Remarquables - Factorisation

Comment factoriser une expression avec les identités remarquables?

1. Qu'est-ce que factoriser (Rappel)?

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Cela permet de simplifier des calculs ou de résoudre des équations.

Exemple : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

2. Les Identités Remarquables

Les identités remarquables sont des outils clés pour factoriser des expressions algébriques. Il y en a trois principales :

1. Carré d’une somme :

   $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

2. Carré d’une différence :

   $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
   

3. Différence de deux carrés :

   $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

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3. Comment identifier l'identité remarquable à utiliser ?

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression

• Si l’expression comporte trois termes, il s’agit probablement d’un carré d’une somme ou d’un carré d’une différence.

  • Vérifiez si le premier et le dernier termes sont des carrés parfaits ($a^2, b^2$).
  • Vérifiez si le terme du milieu correspond à $2ab$ ou $-2ab$.

• Si l’expression comporte deux termes, il s’agit probablement d’une différence de deux carrés.

  • Vérifiez si les deux termes sont des carrés parfaits séparés par un signe $-$.

Étape 2 : Factoriser

Utilisez la formule appropriée pour écrire l'expression sous forme factorisée.

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4. Exemples

Exemple 1 : Carré d’une somme

Factoriser $x^2 + 6x + 9$.

1. Identifier : Le premier terme $x^2$  et le dernier terme $9$ sont des carrés parfaits : $x^2 = x^2$ donc a² = x² , $9 = 3^2$ , donc b² = 3²
2. Vérifier le terme du milieu : $6x = 2 \times x \times 3$. donc 2ab = 6x
3. Conclusion : l'expression à factoriser correspond à la formule a² + 2ab + b² = (a = b)² donc,  ${\mathrm{<b>x</b>}}^{\mathrm{<b>2</b>}}<b>+</b>\mathrm{<b>6</b>}\mathrm{<b>x</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>9</b>}<b>=</b><b>(</b>\mathrm{<b>x</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>3</b>}{<b>)</b>}^{\mathrm{<b>2</b>}}$

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Exemple 2 : Carré d’une différence

Factoriser $y^2 - 10y + 25$

1. $\mathrm{<span\; class="katex"\; style="font-family:\; courier;\; font-size:\; large;"><span\; aria-hidden="true"\; class="katex-html"><span\; class="base"><span\; class="mord"><span\; class="msupsub"><span\; class="vlist-t"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"><span\; class="sizing\; reset-size6\; size3\; mtight"><span\; class="mord\; mtight">y\; ²et\; 25\; =\; 5² </span></span></span></span></span></span></span></span></span>sont\; des\; carrés\; parfaits.</span>}$
2. Vérifier le terme du milieu : $-10y=2\times y\times (-5)$.
3. Conclusion : ${\mathrm{<b>y</b>}}^{\mathrm{<b>2</b>}}<b>-</b>\mathrm{<b>10</b>}\mathrm{<b>y</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>25</b>}$
   

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Exemple 3 : Différence de deux carrés

Factoriser $16x^2 - 9$

1. Identifier : $16x^2 = (4x)^2$ et 9 = 3²
2. Reconnaître une différence de carrés (a² - b²): $16x^2 - 9 = (4x-3)(4x+3)$
   

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5. Cas particuliers

Si l’expression ne correspond pas directement à une identité remarquable, essayez de regrouper les termes ou de mettre un facteur commun en évidence.

Exemple : $2x^2 + 8x + 8$

1. Factorisez par $2$ : $2(x^2 + 4x + 4)$
   
2. Puis factorisez l’intérieur : $2(x+2)^2$
   

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6. Entraînez-vous

Essayez de factoriser les expressions suivantes :

1. $x^2 - 25$
   
2. $9y^2 + 12y + 4$
3. $4a^2 - 16$
   

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Correction :

1. $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
   
2. $9y^2 + 12y + 4 = (3y+2)^2$
   
3. $$4a2−16=4(a2−4)=4(a−2)(a+2)4a^2 - 16 = 4(a^2 - 4) = 4(a-2)(a+2)
   

Les Identités Remarquables

Les identités remarquables servent en général à simplifier

certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions.

Elles sont au nombre de 3:

• Le carré de la somme de 2 nombres

Propriété: le carré de la somme de deux nombres égale la somme de leurs carrés augmentée du double produit de ces deux nombres.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Démonstration:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + a b + b a + b² = a² + 2 a b + b²

• Le carré de la différence de 2 nombres

Le carré de la différence de deux nombres égale la somme de leurs carrés diminuée du double du produit de ces deux nombres. 

(a - b)² = a²- 2ab + b²

Démonstration:

(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - a b - b a + b² = a² + 2 a b + b²

• Produit de la somme et de la différence de 2 nombres

( a + b ) ( a – b ) = a² – b² 

Démonstration:

(a + b)(a - b)  = a² - a b + b a - b² = a²- b²

Identités Remarquables en vidéo - 1ère Partie

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Identités Remarquables - 2ème Partie

Dans cette vidéo nous allons aborder les 2 autres identités remarquables:

(a - b)² = a²- 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

La première identité remarquable est dans cette vidéo

 

Calcul littéral - Développer - Factoriser

 

1. Définition

 Un calcul  littéral est un calcul  où certains nombres sont représentés par des lettres qu'on appelle variables et qui modifient le résultat en fonction du chiffre ou nombre qu'on leur octroie

Exemple: 3x+ 2 - (5 - x),  (- 2x + 1)( x-1), x  est la variable

2 . Développement

Développer un produit revient à le transformer en une somme algébrique

Règle

Soit k, a, b,  on a: k(a+b) = ka + kb

Exemple: 3(x + 5) = 3x +  3x5

                                 = 3x + 15

 

Soit a, b, c,d, nous avons: (a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd

Exemple: (2x - 3)( x + 4) = 2x(x) + 2x x 4 - 3x - 3x4

                                            = 2x² +8x - 3x -12

                                             = 2x² + 5x - 12

3. Factorisation

Factoriser un expression revient à la transformer en un produit

ka - kb = k(a - b)

Exemple:

 2x + 2 = 2(x + 1) , 2 est le facteur commun au 2 parties de cette somme.

Factorisation d’une somme algébrique

Exemple :

  (x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x + 2)

Méthode :

Repérer le facteur commun

·         X + 1

L’écrire en premier

·         (X + 1)( ..........   +  ........... )

Repérer ce qui nous reste une fois le facteur commun est sorti

·         (x + 1) (2x + 3 + x + 2)

Réduire l’expression

·         (x + 1)(3x + 5)

Entrainez avec ces exercices: Exercices factorisation

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