Théorème de Pythagore - Exercices

 

Exercice 1 : Calcul de l'hypoténuse

Dans un triangle rectangle, les longueurs des deux côtés adjacents à l’angle droit sont de $3$ cm et $4$ cm. Utilise le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l’hypoténuse.

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Exercice 2 : Calcul d'un côté

Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse est de $13$ cm, et la longueur de l’un des côtés adjacents à l’angle droit est de $5$ cm. Calcule la longueur de l’autre côté.

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Exercice 3 : Problème appliqué

Un jardin est rectangulaire et mesure $6$ m de large et $8$ m de long. Pour aller d’un coin à l’autre en diagonale, quelle distance faut-il parcourir ? Utilise le théorème de Pythagore pour calculer cette distance.

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Exercice 4 : Vrai ou Faux ?

Tu as un triangle avec des côtés de 7 cm, $24$ cm, et $25$ cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse en utilisant le théorème de Pythagore.

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Exercice 5 : Longueur manquante d'une échelle

Une échelle est posée contre un mur. Elle forme un angle droit avec le sol, et le bas de l’échelle est à $2$ m du mur. L’échelle mesure $6$ m de long. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Utilise le théorème de Pythagore pour calculer cette distance.

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Exercice 6 : Application dans un carré

Un carré a une diagonale de $10$ cm. Quelle est la longueur d’un côté de ce carré ? Utilise le théorème de Pythagore en sachant que la diagonale d’un carré partage ce dernier en deux triangles rectangles.

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Exercice 7 : Triangles emboîtés

Un grand triangle rectangle a des côtés de $15$ cm, $20$ cm et $25$ cm. Un plus petit triangle est similaire (mêmes proportions) et a pour plus grand côté une longueur de $10$. Quelle est la longueur des autres côtés de ce petit triangle ?

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Exercice 8 : Problème géométrique en 3D

Une boîte rectangulaire a une longueur de $\mathrm{12\; cm,\; une\; largeur\; de }$$\mathrm{9 }$cm, et une hauteur de $8$ cm. Quelle est la distance maximale entre deux coins opposés de la boîte ? Utilise le théorème de Pythagore pour résoudre ce problème en plusieurs étapes.

Triangle Rectangles - Maths 4ème

 Rappel

On dit qu’un triangle est rectangle lorsque l’un de ses 3 angles est droit                                             

Le triangle ABC est rectangle en A,

• BÂC est l'angle droit
•  AB et AC sont les côtés de l'angle droit
•  BC( le côté le plus grand est appelé l'hypoténuse

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Triangle rectangle et cercle circonscrit

On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.
Son centre est le point de concours des médiatrices des 3 cotés de ce triangle.

Propriété: SI un triangle ABC est rectangle en A, alors ABC est inscrit dans un demi cercle de diamètre [BC]
 le diamètre BC est l’hypoténuse du triangle ABC

La Réciproque: SI ABC est un triangle inscrit dans un  cercle de diamètre [BC],
alors ABC est rectangle en A.

Théroème de Pythagore

SI un triangle ABC est rectangle en A, alors Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l’angle droit.

AB² + AC² = BC².

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3cm et AC = 4cm.

Puisque le triangle ABC est rectangle en A.

Alors d'après le théorème de Pythagore:

AB² + AC² = BC²

On a alors :
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25.
Donc BC = 5cm.

2. Réciproque: SI un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC² (c’est à dire « le carré du coté le plus long est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés »),
ALORS il est rectangle en A.

Exemple: ABC est un triangle tel que : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm

 [BC] est le côté le plus long du triangle ABC. On a : 
BC² = 10² = 100 
et AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
Donc BC² = AB² + AC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 

Triangle rectangle et médiane

Rappel: La médiane d'un triangle rectangle est la droite issue du sommet d'un angle du rectangle et qui coupe le côté opposé en son milieu

Régle:  Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle  droit  est égale à la moitié de son hypothénuse