Identités remarquables - Exercices Corrigés

EXERCICES

Exercice 1 : Développer les expressions

Développez et simplifiez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

1. $(x + 5)^2$
   
2. $(3y-2{)}^2$
3. $(2x + 7)(2x - 7)$
   
4. $(5a+4b{)}^2$
5. $(7 - 3x)^2$
   

Exercice 2 : Factoriser les expressions

Factorisez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

1. $x^2 + 10x + 25$
   
2. $9y^2 - 24y + 16$
3. $49-16z^2$
4. $25a^2 + 30a + 9$
   
5. $81x^2 - 1$
   

Exercice 3 : Résoudre des équations

Résolvez les équations suivantes en utilisant les identités remarquables pour simplifier les expressions.

1. $(x + 3)^2 = 49$
   
2. $(2y - 5)^2 = 16$
   
3. $4z^2 - 36 = 0$
   
4. $(3a + 4)^2 = 64$
   
5. $(5b - 7)(5b + 7) = 0$
   

Exercice 4 : Problèmes

1. Soit un carré dont la longueur du côté est $x + 4$. Exprimez l'aire de ce carré en fonction de $x$, puis développez l'expression.

2. Soit un rectangle de longueur $a + 3$ et de largeur $a - 3$. Exprimez l'aire du rectangle en fonction de $a$, puis simplifiez l'expression.

3. La somme des carrés de deux nombres est exprimée par la formule suivante : $(x + 2)^2 + (x - 2)^2$. Développez et simplifiez cette expression.

4. Factorisez l'expression suivante et trouvez les valeurs de $x$ pour lesquelles elle est nulle : $4x^2 - 9$
   

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• Corrigés

Exercice 1 - Développement

1. $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$
   
2. $(3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4$
   
3. $(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49$
   
4. $(5a + 4b)^2 = 25a^2 + 40ab + 16b^2$
   
5. $(7 - 3x)^2 = 49 - 42x + 9x^2$
   

Exercice 2 - Factorisation

1. $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$
   
2. $9y^2 - 24y + 16 = (3y - 4)^2$
   
3. $49 - 16z^2 = (7 + 4z)(7 - 4z)$
   
4. $25a^2 + 30a + 9 = (5a + 3)^2$
   
5. $81x^2 - 1 = (9x + 1)(9x - 1)$
   

Exercice 3 - Résolution d'équations

1. $(x + 3)^2 = 49$ ⟹ $x + 3 = \pm 7$ ⟹ $x = 4$ ou $x = -10$
   
2. $(2y - 5)^2 = 16$ ⟹ $2y - 5 = \pm 4$ ⟹ $y = 4.5$ ou $y = 0.5$
   
3. $4z^2 - 36 = 0$ ⟹ $z^2 = 9$ ⟹ $z = 3$ ou $z = -3$
   
4. $(3a + 4)^2 = 64$ ⟹ $3a + 4 = \pm 8$ ⟹ $a = \frac{4}{3}$ ou $a = -4$
   
5. $(5b - 7)(5b + 7) = 0$ ⟹ $b = \frac{7}{5}$ ou $b = -\frac{7}{5}$

Factorisation - Exercices - Maths 3ème

Exercice 1

 Factoriser les expressions suivantes :

 A = (x  + 1)(2x − 1) (x +  1)(3 x - 2)

 B = (3x - 7)(2x + 1) − (3x - 7)(5x − 7) 

 C = (8x + 3)(5x - 7) − 3(8x + 3)(2x − 1)

Exercice 2

 Factoriser les expressions suivantes : 

 D = (2x + 3)² + (x – 2)(2x + 3)

 E = (2x – 7) – (5x + 1)(2x – 7)

 F = 16y² – 4y  

 G = (2y – 3)² + (2y – 3)(y – 1) + 2y – 3

Exercice 3

 Factoriser les expressions suivantes :

 I = (x – 4)² – (2x – 1)²

 J = 3(3x - 4)² - 81

 K = 2x² - 4(5x + 1)²

Exercice 4

Factoriser les expressions suivantes :

L = 25x² - 9

M = (4 – x)² – 16

N = 64 - 5(x + 1)²

Calcul littéral et équations

1 . Calcul Littéral

 Définition

Un calcul  littéral est un calcul  où certains nombres sont représentés par des    lettres qu'on appelle variables et qui modifient le résultat en fonction du chiffre ou nombre qu'on leur octroie

 

Exemple: 3x+ 2 - (5 - x),  (- 2x + 1)( x-1), x  est la variable

 

2 . Developpement

Développer un produit revient à le transformer en une somme algébrique

• Simple distributivité

Règle

• Soit k, a, b,  on a: k(a+b) = ka + kb 

Exemple: 3(x + 5) = 3x +  3x5

                              = 3x + 15

• Double distributivité

Règle

• Soit a, b, c,d, nous avons: (a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd

Exemple: (2x - 3)( x + 4) = 2(x)² + 2x x 4 - 3x - 3x4

                                        = 2x² +8x - 3x -12

                                       = 2x² + 5x - 12

Pour mieux comprendre, regardez la vidéo ci-dessous

 

3. Factorisation

Factoriser un expression revient à la transformer en un produit

ka - kb = k(a - b)

Exemple: 2x + 2 = 2(x + 1) , 2 est le facteur commun au 2 parties de cette somme.

 

4 . Identités Remarquables

 

1.Le carré d'une somme.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

 

2. Le carré d'une différence

(a - b)²  = a² - 2ab + b²

 

 

3. le produit d'une somme et d'une différence

(a + b)(a - b) = a² - b²

 

Equations

Définition: Une équation est une égalité entre deux expressions algébriques(appelées membres de l'équation) contenant au moins une inconnue

Exemple: 2x + 3 =  x - 2.

•   2x + 3  est le 1èr membre de l'équation
•   x - 2      est le  2ème membre de l'équation
•   x          est l'inconnue

 

 Résoudre une équation

pour résoudre une équation il faut l'écrire sous la forme: ax = b

Règle 1: on peut ajouter ou retrancher le même nombre aux 2 membres de l'équation

Règle 2 : On peut multiplier ou diviser les 2 membres d'une équation par un même nombre

Exemple 1:

 x + 1 = 5

x + 1 - 1 = 5 - 1

x =  4

 

Exemple 2:

3x  - 2 = 7

3x - 2 + 2 = 7 - 2

3x = 5

3x  =  5

3        3

x =  5/3