Durées - Conversion, Comparaison et Calculs Faciles

1. Qu’est-ce qu’une durée ?

Une durée est le temps qui s’écoule entre

deux instants. Elle se mesure en secondes (s), minutes (min), heures (h), jours, semaines, mois ou années.

2. Les unités de mesure du temps

• 1 minute = 60 secondes

• 1 heure = 60 minutes

• 1 jour = 24 heures

• 1 semaine = 7 jours

• 1 mois = entre 28 et 31 jours

• 1 année = 12 mois ou 365 jours (366 jours pour une année bissextile)

3. Conversion des durées

Pour convertir une durée, il faut utiliser les relations ci-dessus.

Exemple 1 : Convertir 2 heures en minutes. 2 x 60 = 120 minutes

Exemple 2 : Convertir 150 secondes en minutes et secondes 150 ÷ 60 = 2min 30s

4. Comparer et additionner des durées

Comparer des durées

Pour comparer deux durées, il est recommandé de les convertir dans la même unité (secondes, minutes ou heures).

Exemple : Comparer 1h45 et 110 minutes.

On commence par convertir 1h45 en minutes: 1h45 = 60 + 45 = 105 minutes

105 < 110 alors 1h45 < 110 minutes

Additionner des durées

Pour comparer ou additionner des durées, il est souvent utile de convertir toutes les durées dans la même unité.

Exemple 3 : Additionner 1 heure 25 minutes et 50 minutes.

 On commence par additionner les minutes 25 + 50 = 75, puis on convertit les minutes en heure et minutes 75 = 60 + 15 = 1h 15 . 1h 25 minutes et 50 minutes = 2h15

5. Problèmes avec les durées

Les durées sont souvent utilisées dans des problèmes du quotidien.

Exemple 4 : Un film commence à 15h40 et dure 2h15. À quelle heure se termine-t-il ?

15h40 + 2h15 = 17h55

6. Exercices

1. Convertir :

   • 3 heures en minutes

   • 240 secondes en minutes et secondes

2. Additionner :

   • 2h35 et 1h50

3. Un train part à 9h15 et arrive à destination à 12h45. Quelle est la durée du trajet ?

4. Comparer les durées suivantes :

   • 2h10 et 130 minutes

   • 75 minutes et 1h20

7. Exercices corrigés

Correction détaillée :

1. Convertir :

   • 3 heures en minutes : 3 x 60 = 180 minutes

   • 240 secondes en minutes : 240 ÷ 60 = 4 minutes

2. Additionner :

   • 2h35 et 1h50 :  (car 85 minutes = 1 heure 25 minutes)

3. Durée du trajet :

   • De 9h15 à 12h45 : On décompose :

4. Comparer les durées :

   • 2h10 et 130 minutes :

   • 75 minutes et 1h20 :

Astuce : Toujours vérifier ses calculs et bien aligner les unités pour éviter les erreurs.

Ordre de grandeur : Somme, Différence et Produit

Comment établir un ordre de grandeur ?

Somme, Différence et Produit

L'ordre de grandeur est une estimation simplifiée et rapide d’un résultat. Il permet de vérifier si un calcul est réaliste 

---

1. Ordre de grandeur d’une somme

Méthode :
Pour estimer l’ordre de grandeur d’une somme :

1. Arrondir chaque terme à un chiffre significatif ou à un multiple facile à manipuler (10, 100, 1 000, etc.).
2. Effectuer l'addition avec ces nombres arrondis.

Exemple : $347 + 589$

1. Arrondir : $347 \approx 350$ et $589 \approx 600$
   
2. Ajouter : $350 + 600 = 950$
   Ordre de grandeur : 950.

---

2. Ordre de grandeur d’une différence

Méthode :
Pour estimer une différence :

1. Arrondir chaque terme à un multiple proche mais en respectant leur différence.
2. Effectuer la soustraction.

Exemple : $1 203 - 867$

1. Arrondir : $1 203 \approx 1 200$ et $867 \approx 870$
   
2. Soustraire : $1 200 - 870 = 330$
   Ordre de grandeur : 330.

---

3. Ordre de grandeur d’un produit

Méthode :
Pour estimer un produit :

1. Arrondir chaque facteur à des nombres simples (multiples de 10, 100, etc.).
2. Effectuer la multiplication avec les valeurs arrondies.

Exemple : $47 \times 83$

1. Arrondir : $47\approx \mathrm{50\; et }$$83 \approx 80$
   
2. Multiplier : $50 \times 80 = 4 000$
   Ordre de grandeur : 4 000.

---

Remarques générales :

• Précision souhaitée : L'ordre de grandeur donne une estimation approximative, pas le résultat exact.
• Contrôle de cohérence : Utiliser l'ordre de grandeur pour vérifier un calcul détaillé. Par exemple, si $47 \times 83 = 3 901$, cela correspond à l'ordre de grandeur $4 000$, donc le résultat semble correct.
• Arrondi intelligent : Arrondir différemment selon les besoins : vers le haut, le bas ou au plus proche.

---

Exercices :

1. Donne un ordre de grandeur pour les opérations suivantes :
   • $238 + 764$
     
   • $5 123 - 2 487$
     
   • $62 \times 94$
     

Opérations- Addition, Soustraction, Multiplication

 

1. L'Addition

Définition : L'addition est une opération qui permet de calculer la somme de deux ou plusieurs nombres.

• Vocabulaire :
  • Les nombres à additionner s’appellent les termes.
  • Le résultat s’appelle la somme.

Propriétés :

• L'addition est commutative : $a + b = b + a$
  
• L'addition est associative : $(a + b) + c = a + (b + c)$
  

Exemple :
$27 + 15 = 42$
Les termes sont 27 et 15, et la somme est 42.

---

2. La Soustraction

Définition : La soustraction est une opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres.

• Vocabulaire :
• Les nombres à soustraire s'appelle les termes 
• Le résultat s’appelle la différence.

Remarque :

• La soustraction n'est pas commutative : $a - b \neq b - a$
  
• La soustraction n'est pas associative : $(a - b) - c \neq a - (b - c)$
  

Exemple :
$45 - 18 = 27$
Les termes sont 45 et 18, et la différence est 27.

---

3. La Multiplication

Définition : La multiplication est une opération qui permet de calculer le produit de deux nombres. Elle peut être vue comme une addition répétée.

• Vocabulaire :
• Les nombres à multiplier s’appellent les facteurs.
• Le résultat s’appelle le produit.

Propriétés :

• La multiplication est commutative : $a \times b = b \times a$
  
• La multiplication est associative : $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• La multiplication est distributive par rapport à l’addition et la soustraction : $$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c).$$
  

Exemple :
$7 \times 8 = 56$
Les facteurs sont 7 et 8, et le produit est 56.

---

Exercices d’entraînement

1. Addition : Calcule la somme des nombres suivants:

• 54 + 321
• 500 + 234

  2. Soustraction : Trouve la différence des nombres suivants :

• $89-56$
  
• $200-123$

  3. Multiplication : Calcule les produits         suivants :

• 6 x 9
• 15 x 8

---

Conseils pratiques :

• Utilisez les tables de multiplication pour vous entraîner.
• Vérifiez vos calculs en inversant l’opération (par exemple, pour $45 - 18 = 27$, vérifiez que $27 + 18 = 45$).
• Faites attention à l'ordre des opérations si plusieurs apparaissent dans un calcul.

Maths 6ème - Les Triangles

Définition

Un triangle est polygone qui a trois côtés

• Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°

Le triangle ABC est formé par trois points A,B et C et 3 segments : [AB], [BC] et [AC]

• Les points A,B et C sont appelés les sommets du triangle ABC
• Les segments [AB], [BC] et [AC] sont appelés les côtés du triangle ABC
• Le triangle ABC a aussi 3 angles: 
  
  

• Triangle Quelconque

Définition : Un triangle quelconque est un triangle qui n'a pas de propriété particulière. 

• Triangle isocèle

Définition: Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur et les angles à la base de même mesure

                            Sommet

Base

              

• Triangle Equilatéral

Définition : Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.

                               

                      AB = BC = AC

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois angles ont la même mesure  60°

• Triangle Rectangle

Définition : Un triangle rectangle est un triangle ayant deux côtés perpendiculaires.

                                B

        AC

[AB] est perpendiculaire à [BC]

le côté BC s'appelle l'hypoténuse

L'angle  = 90°

 

Périmètres et Aires - Maths 6ème

 1 Périmètre

Définition: le périmètre d'une figure fermée est la longueur de son contour

L'unité de mes ure du périmètre est le km, m, cm ...

Exemple:

Pour calculer le périmètre de ABCD, on calcule la somme des longueurs de ses 4 côtés

Le périmètre de ABCD:

P = AB+ BC +CD + AD 
P = 4 + 6,4 +5,2 +6

P = 21,4cm 

• Périmètre d'un carré

  P = c x c x c x c

   P = 4 x C

• Périmètre d'un rectangle

P = L x l

• Périmètre d'un cercle de rayon r

P = 2 x π x r 

le périmètre d'un cercle peut également d'exprimer  en fonction du diamètre:

P = π x d

2 Aire d'une Figure

Définition : l'aire d'une figure est la mesure de la surface recouvrant cette figure.

L'unité de mesure de l'aire est le m², cm², km²....

Comment Construire Une bissectrice?

 Définition:

Une bissectrice est la demi droite qui partage un angle en 2 angles adjacents de même mesure.

Etapes pour Construire une bissectrice à l'aide du compas:

• Ouvrir le compas et conserver cette ouverture pour toutes les étapes de construction.
• Placer la pointe du compas sur le sommet de l'angle et tracer un arc qui coupe les deux côtés de l'angle.
• Placer la pointe du compas sur une intersection de l'arc de cercle et d'un côté de l'angle.
• Tracer un nouvel arc dans l'ouverture de l'angle.
• Placer la pointe du compas sur une intersection de l'arc de cercle et l'autre côté de l'angle.
• Tracer un 2ème arc dans l'ouverture de l'angle formant une intersection avec le 1er arc
• À l'aide d'une règle, tracer la droite qui relie le sommet de l'angle au point d'intersection des deux derniers arcs tracés

La  demie droit AD est la bissectrice de l'angle AÔB

Etape pour tracer une bissectrice à l'aide du rapporteur

1. Avec un rapporteur d'angle, mesurer l'angle 
2. Diviser la valeur de l'angle en deux.
3. A l'aide du rapporteur , reporter la valeur de l'angle trouvé dans l'étape 2 et le repérer avec un point
4. A l'aide de la règle, tracer la demie droite passant par ce point et le sommet de l'angle, cette demie droite est la bissectrice de cette angle

Dans la vidéo ci-dessous, vous allez apprendre à construire une bissectrice à l'aide du compas

Axes de Symétrie

 Axe de Symétrie d'un Triangle

• Triangle isocèle

Un triangle isocèle possède un seul axe de symétrie, c'est la médiatrice de sa base ou la bissectrice de son angle principal

La droite est la médiatrice du segment [AC] et aussi l'axe de symétrie du triangle ABC

• Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie: les médiatrices de ces côtés

Les(d), (d1) et (d2) sont les trois axe de symétrie du triangle équilatéral ABC, Elle sont aussi les médiatrices des 3 côtés et les bissectrices de ses 3 angles

Axe de Symétrie d'un losange

Un losange possède 2 axes de symétrie: ses deux diagonales

Les droites(d) et (d1) sont les deux axes de symétrie du losange ABCD et ce sont aussi ses deux diagonales.

Dans un losange:

• Les diagonales se coupent en leu milieu
• Les diagonales sont perpendiculaire
• Les angles opposés on la même mesure

Proportionnalité

 

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut calculer les valeurs de l'une en multipliant ou en divisant les valeurs de l'autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité

Exemple :

le prix d'un CD est de 9€, combien coûte 5 CD, 3 CD 

Le grandeurs sont: le nombre de CD et le prix

• Le prix de 5 CD :

5 x 9 = 45€

• Le prix de 3 CD : 

3 x 9 = 27

Ces deux grandeurs(prix et nombre de CD) sont proportionnelles 

Tableau de proportionnalité

On dit qu'un tableau est un tableau de proportionnalité si on passe d'une ligne à l'autre en multipliant ou en divisant par un même nombre. 

Exemple:

5kg de carottes coûtent 6€

10 kg Coûtent donc 12 €

15 kg coûtent 18 €

25 kg coûtent 30 €

Les grandeurs sont la masse des pêches et le prix de vente, mettons ces grandeurs sous forme de tableau :

Les angles - Maths 6ème

Définition: 

Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine. Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle. L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle.

Un angle se note avec 3 lettres, la lettre centrale se nomme le sommet

Exemple: dans l'angle ABC, la lettre B est le sommet de l'angle

• L'unité de mesure d'un angle est le degrés
• Un angle se mesure à l'aide d'un rapporteur

Les différents types d'angles

• Angle nul

Un angle nul est un angle qui mesure 0°

• Angle Droit

Un angle droit est un angle qui mesure 90°

• Angle aigu

Un angle aigu est un angle qui est plus petit qu'un angle droit et dont la mesure est comprise entre 0° et 90°

• Angle obtus

Un angle obtus est un angle qui est plus grand que 90° et dont la mesure est compris entre 90° et 180°

• Angle plat

un angle plat est un angle qui mesure 180°C

Distances et Cercles

1. Longueur et milieu d'un segment

Définition

La longueur d'un segment [AB] est la distance du point A au point B ; elle est notée AB. 

Exemple:

Le segment AB mesure 4,5cm, c'est à dire que la distance du point A au point B est de 4,5cm et on note: AB = 4,5cm

On utilise une règle graduée pour mesurer un segment

Milieu d'un segment

Le milieu d'un segment est le point de ce segment situé à égale distance de ses extrémités.

Le point O ∈ [AB] 

Le point O est le milieu de  [AB]

2. Cercles

Définition

Un cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble de tous les points situés à la même distance R du point O. Cette distance est appelé rayon

                                 

Vocabulaire

Rayon: le rayon d'un cercle est le segment qui relie le centre d’un cercle à un point quelconque du cercle. Diamètre: le diamètre d'un cercle est le segment qui relie deux points du cercle et qui passe par l' origine de ce cercle. Corde: on appelle corde, le segment qui relie deux points appartenant au cercle

                                           

AB est le diamètre

BC est une corde

Décimaux et opérations​

1. Addition et Soustraction

• L'addition ou la soustraction de nombres décimaux se font de la même manière que pour les nombres entiers
• Les virgules des termes doivent être placées l'une au dessus de l'autre
• La virgule du résultat doit être placée au dessus de celles des termes

Exemple: Addition

6897,86 + 457,23

On pose:

    6 8 9 7 , 8 6 

+    4 5 7 , 2 3

= 7 3 5 5 , 0 9

2. Multiplication

• on pose la multiplication et on l'effectue sans tenir compte des virgules
• Dans chaque facteur on compte le nombre de chiffres après la virgule on le additionne, la somme constitue le nombre de chiffres après la virgule du résultat.

​Exemple:

   4 2 , 5  →   Dans ce facteur il y un chiffre après la    virgule

x    2 , 5  →   Dans ce facteur il y a un chiffre après la virgule

 2 1 2 5

 8 5 0 .

7 6,2 5   →   Conclusion: le produit comporte 2 chiffres après la virgule

3. Division d'un nombre décimal par un entier

Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on commence par:  

• Diviser la partie entière par ce nombre
• Placer la virgule au niveau du quotient
• Abaisser le chiffre des dixièmes de la partie décimale et effectuer la division
• Continuer avec de la même manière avec les chiffre des centièmes...etc

Exemple: 

A = 15,2 ÷ 4

Les étapes:

1. Je divise 15 par 4 j'obtiens 3(car 3 x 4 = 12 c'est proche de 15)
2. Je place la virgule après le quotient 3
3. Je multiplie 3 par 4 ce qui donne 12
4. Je soustrait 12 de 15, j'obtiens 3
5. J'abaisse 2, le chiffre des dixièmes d la partie décimale
6. J'effectue la division