Aires et volumes des figures planes et des solides usuels

1. Rappel des unités

• Longueur : mètre (m), centimètre (cm), millimètre (mm).
• Aire (surface) : mètre carré (m²), centimètre carré (cm²).
• Volume : mètre cube (m³), litre (L) (1 L = 1 dm³).

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2. Aires des figures planes

Les aires sont mesurées en unités carrées (m², cm²).

Formules usuelles :

• Carré : $A=c^2$
  où $c$ est la longueur du côté.

• Rectangle : $A = L \times l$
  où $\mathrm{L\; est\; la\; longueur\; et }$$l$ la largeur.

• Triangle : $A = \frac{b \times h}{2}$
  où $b$ est la base et $h$ la hauteur associée.

• Parallélogramme : $A = b \times h$
  où $b$ est une base et $h$ la hauteur associée.

• Trapèze : $A = \frac{(B + b) \times h}{2}$​

où B et $b$ sont les deux bases, $\mathrm{h }$la hauteur.

• Cercle : $A = \pi r^2$
  où $r$ est le rayon ($\pi \approx 3,14$).

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3. Volumes des solides

Les volumes sont mesurés en unités cubiques (m³, cm³).

Formules usuelles :

• Cube : $V = c^3$
  où $c$ est la longueur de l’arête.

• Prisme droit (inclut les parallélépipèdes) : $V = A_{\text{base}} \times h$
  où $A_{\text{base}}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur.

• Cylindre : $V = \pi r^2 \times h$
  où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur.

  
  
  

 

• Pyramide : $V = \frac{A_{\text{base}} \times h}{3}$
  où $A_{\text{base}}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur.

• Cône : $V = \frac{\pi r^2 \times h}{3}$
  où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur.

• Sphère :

• Volume : $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
• Aire : $A = 4 \pi r^2$
  

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4. Résolution d’un problème type

Exemple : Calculer le volume d’un cylindre.
Un cylindre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm.
Formule : $V = \pi r^2 \times h$.
$V = 3,14 \times 4^2 \times 10 = 3,14 \times 16 \times 10 = 502,4 \, \text{cm}^3$

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5. Conseils pratiques

1. Vérifiez les unités : convertissez-les si nécessaire (exemple : cm → m).
2. Identifiez la base : pour les solides comme les prismes, pyramides ou cônes.
3. Utilisez les formules avec rigueur : respectez les ordres de priorité des opérations.
4. Pensez à arrondir au besoin : surtout pour $\pi$ (souvent $\pi \approx 3,14$).

Les statistiques - maths 3ème

 

Objectifs de la leçon

• Comprendre les notions de base des statistiques.

• Savoir organiser et interpréter des données.

• Calculer les indicateurs statistiques : moyenne, médiane, mode, étendue.

• Représenter des données sous forme de tableau, diagramme ou graphique.

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I. Qu'est-ce que les statistiques ?

Les statistiques consistent à recueillir, organiser, analyser et interpréter des données. Elles permettent de décrire une situation, de comprendre des tendances ou de prendre des décisions basées sur des informations.

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II. Organiser les données

A. Création d'un tableau de données

Un tableau statistique organise des données brutes pour les rendre exploitables. Par exemple, voici les notes d'une classe sur 20 :

B. Fréquences

La fréquence d'une valeur correspond au rapport entre l'effectif de cette valeur et l'effectif total.

Exemple

Effectif total = 4 + 6 + 8 + 3 + 1 = 22.

La fréquence pour chaque note se calcule ainsi :

• Note 10 : $\frac{4}{22} \approx 0,18 = 18 \%$
  
• Note 12 : $\frac{6}{22} \approx 0,27 = 27 \%$
  
• Note 14 : $\frac{8}{22} \approx 0,36 = 36 \%$
  
• Note 16 : $\frac{3}{22} \approx 0,14 = 14 \%$
  
• Note 18 : $\frac{1}{22} \approx 0,05 = 5 \%$
  

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III. Indicateurs statistiques

A. Moyenne

La moyenne est la somme des données divisée par l'effectif total.

Étapes du calcul :

1. Multiplier chaque note par son effectif :

   • $10 \times 4 = 40$
     
   • $12 \times 6 = 72$
     
   • $14 \times 8 = 112$
     
   • $16 \times 3 = 48$
     
   • $18 \times 1 = 18$
     

2. Additionner ces produits 40+72+112+48+18=290.

   
   

3. Diviser la somme par l'effectif total $22$ :

   $$\text{Moyenne} = \frac{290}{22} \approx 13,18.$$

B. Médiane

La médiane est la valeur qui partage les données en deux groupes de même effectif.

Exemple

Si les données sont : 

10, 12, 14, 16, 18 :

• Effectif total = 22.

• La médiane est la valeur qui divise la série en deux

• La médiane est égale à 14

C. Étendue

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.

La valeur maximale est 18 et la valeur minimale est 8

L'étendue + 18 - 8 + 10

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IV. Représentations graphiques

A. Diagramme en barres

Représente les effectifs ou fréquences pour chaque valeur sous forme de barres verticales.

Exemple

Voici un exemple de diagramme en barres pour les notes :

B. Diagramme circulaire

Permet de visualiser les proportions (en pourcentage) sous forme de secteurs.

Exemple

Pour le tableau des notes, les proportions sont converties en angles pour le diagramme circulaire :

• Note 12 : .

• Note 14 : .

Un diagramme circulaire montrerait ces secteurs colorés.

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V. Applications

Exemple 1 : Analyse des résultats scolaires

• Calculer la moyenne, la médiane 

• Représenter les données par un diagramme en barres.

Exemple 2 : Sondage sur les préférences

• Organiser les réponses sous forme de tableau.

• Calculer les fréquences.

• Représenter les résultats sous forme de diagramme circulaire.

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VI. Exercices

Exercice 1 : Calculs statistiques

On donne le tableau suivant :

1. Calculer la moyenne.

2. Trouver la médiane.

3. Calculer l'étendue.

Exercice 2 : Représentations

1. Représenter les données de l'exercice 1 par un diagramme en barres.

2. Calculer les fréquences et réaliser un diagramme circulaire.

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VII. Points à retenir

1. Les indicateurs (moyenne, médiane,  étendue) permettent de résumer des données.

2. Les représentations graphiques facilitent la compréhension et l'analyse.

3. Les fréquences permettent d'évaluer les proportions.

 Voici un tableau des périmètres des figures géométriques usuelles avec leurs formules respectives :

Ordre de grandeur : Somme, Différence et Produit

Comment établir un ordre de grandeur ?

Somme, Différence et Produit

L'ordre de grandeur est une estimation simplifiée et rapide d’un résultat. Il permet de vérifier si un calcul est réaliste 

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1. Ordre de grandeur d’une somme

Méthode :
Pour estimer l’ordre de grandeur d’une somme :

1. Arrondir chaque terme à un chiffre significatif ou à un multiple facile à manipuler (10, 100, 1 000, etc.).
2. Effectuer l'addition avec ces nombres arrondis.

Exemple : $347 + 589$

1. Arrondir : $347 \approx 350$ et $589 \approx 600$
   
2. Ajouter : $350 + 600 = 950$
   Ordre de grandeur : 950.

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2. Ordre de grandeur d’une différence

Méthode :
Pour estimer une différence :

1. Arrondir chaque terme à un multiple proche mais en respectant leur différence.
2. Effectuer la soustraction.

Exemple : $1 203 - 867$

1. Arrondir : $1 203 \approx 1 200$ et $867 \approx 870$
   
2. Soustraire : $1 200 - 870 = 330$
   Ordre de grandeur : 330.

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3. Ordre de grandeur d’un produit

Méthode :
Pour estimer un produit :

1. Arrondir chaque facteur à des nombres simples (multiples de 10, 100, etc.).
2. Effectuer la multiplication avec les valeurs arrondies.

Exemple : $47 \times 83$

1. Arrondir : $47\approx \mathrm{50\; et }$$83 \approx 80$
   
2. Multiplier : $50 \times 80 = 4 000$
   Ordre de grandeur : 4 000.

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Remarques générales :

• Précision souhaitée : L'ordre de grandeur donne une estimation approximative, pas le résultat exact.
• Contrôle de cohérence : Utiliser l'ordre de grandeur pour vérifier un calcul détaillé. Par exemple, si $47 \times 83 = 3 901$, cela correspond à l'ordre de grandeur $4 000$, donc le résultat semble correct.
• Arrondi intelligent : Arrondir différemment selon les besoins : vers le haut, le bas ou au plus proche.

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Exercices :

1. Donne un ordre de grandeur pour les opérations suivantes :
   • $238 + 764$
     
   • $5 123 - 2 487$
     
   • $62 \times 94$
     

Opérations- Addition, Soustraction, Multiplication

 

1. L'Addition

Définition : L'addition est une opération qui permet de calculer la somme de deux ou plusieurs nombres.

• Vocabulaire :
  • Les nombres à additionner s’appellent les termes.
  • Le résultat s’appelle la somme.

Propriétés :

• L'addition est commutative : $a + b = b + a$
  
• L'addition est associative : $(a + b) + c = a + (b + c)$
  

Exemple :
$27 + 15 = 42$
Les termes sont 27 et 15, et la somme est 42.

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2. La Soustraction

Définition : La soustraction est une opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres.

• Vocabulaire :
• Les nombres à soustraire s'appelle les termes 
• Le résultat s’appelle la différence.

Remarque :

• La soustraction n'est pas commutative : $a - b \neq b - a$
  
• La soustraction n'est pas associative : $(a - b) - c \neq a - (b - c)$
  

Exemple :
$45 - 18 = 27$
Les termes sont 45 et 18, et la différence est 27.

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3. La Multiplication

Définition : La multiplication est une opération qui permet de calculer le produit de deux nombres. Elle peut être vue comme une addition répétée.

• Vocabulaire :
• Les nombres à multiplier s’appellent les facteurs.
• Le résultat s’appelle le produit.

Propriétés :

• La multiplication est commutative : $a \times b = b \times a$
  
• La multiplication est associative : $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• La multiplication est distributive par rapport à l’addition et la soustraction : $$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c).$$
  

Exemple :
$7 \times 8 = 56$
Les facteurs sont 7 et 8, et le produit est 56.

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Exercices d’entraînement

1. Addition : Calcule la somme des nombres suivants:

• 54 + 321
• 500 + 234

  2. Soustraction : Trouve la différence des nombres suivants :

• $89-56$
  
• $200-123$

  3. Multiplication : Calcule les produits         suivants :

• 6 x 9
• 15 x 8

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Conseils pratiques :

• Utilisez les tables de multiplication pour vous entraîner.
• Vérifiez vos calculs en inversant l’opération (par exemple, pour $45 - 18 = 27$, vérifiez que $27 + 18 = 45$).
• Faites attention à l'ordre des opérations si plusieurs apparaissent dans un calcul.

Identités Remarquables - Factorisation

Comment factoriser une expression avec les identités remarquables?

1. Qu'est-ce que factoriser (Rappel)?

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Cela permet de simplifier des calculs ou de résoudre des équations.

Exemple : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

2. Les Identités Remarquables

Les identités remarquables sont des outils clés pour factoriser des expressions algébriques. Il y en a trois principales :

1. Carré d’une somme :

   $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

2. Carré d’une différence :

   $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
   

3. Différence de deux carrés :

   $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$
   

   Lors de la factorisation : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

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3. Comment identifier l'identité remarquable à utiliser ?

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression

• Si l’expression comporte trois termes, il s’agit probablement d’un carré d’une somme ou d’un carré d’une différence.

  • Vérifiez si le premier et le dernier termes sont des carrés parfaits ($a^2, b^2$).
  • Vérifiez si le terme du milieu correspond à $2ab$ ou $-2ab$.

• Si l’expression comporte deux termes, il s’agit probablement d’une différence de deux carrés.

  • Vérifiez si les deux termes sont des carrés parfaits séparés par un signe $-$.

Étape 2 : Factoriser

Utilisez la formule appropriée pour écrire l'expression sous forme factorisée.

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4. Exemples

Exemple 1 : Carré d’une somme

Factoriser $x^2 + 6x + 9$.

1. Identifier : Le premier terme $x^2$  et le dernier terme $9$ sont des carrés parfaits : $x^2 = x^2$ donc a² = x² , $9 = 3^2$ , donc b² = 3²
2. Vérifier le terme du milieu : $6x = 2 \times x \times 3$. donc 2ab = 6x
3. Conclusion : l'expression à factoriser correspond à la formule a² + 2ab + b² = (a = b)² donc,  ${\mathrm{<b>x</b>}}^{\mathrm{<b>2</b>}}<b>+</b>\mathrm{<b>6</b>}\mathrm{<b>x</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>9</b>}<b>=</b><b>(</b>\mathrm{<b>x</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>3</b>}{<b>)</b>}^{\mathrm{<b>2</b>}}$

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Exemple 2 : Carré d’une différence

Factoriser $y^2 - 10y + 25$

1. $\mathrm{<span\; class="katex"\; style="font-family:\; courier;\; font-size:\; large;"><span\; aria-hidden="true"\; class="katex-html"><span\; class="base"><span\; class="mord"><span\; class="msupsub"><span\; class="vlist-t"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"><span\; class="sizing\; reset-size6\; size3\; mtight"><span\; class="mord\; mtight">y\; ²et\; 25\; =\; 5² </span></span></span></span></span></span></span></span></span>sont\; des\; carrés\; parfaits.</span>}$
2. Vérifier le terme du milieu : $-10y=2\times y\times (-5)$.
3. Conclusion : ${\mathrm{<b>y</b>}}^{\mathrm{<b>2</b>}}<b>-</b>\mathrm{<b>10</b>}\mathrm{<b>y</b>}<b>+</b>\mathrm{<b>25</b>}$
   

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Exemple 3 : Différence de deux carrés

Factoriser $16x^2 - 9$

1. Identifier : $16x^2 = (4x)^2$ et 9 = 3²
2. Reconnaître une différence de carrés (a² - b²): $16x^2 - 9 = (4x-3)(4x+3)$
   

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5. Cas particuliers

Si l’expression ne correspond pas directement à une identité remarquable, essayez de regrouper les termes ou de mettre un facteur commun en évidence.

Exemple : $2x^2 + 8x + 8$

1. Factorisez par $2$ : $2(x^2 + 4x + 4)$
   
2. Puis factorisez l’intérieur : $2(x+2)^2$
   

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6. Entraînez-vous

Essayez de factoriser les expressions suivantes :

1. $x^2 - 25$
   
2. $9y^2 + 12y + 4$
3. $4a^2 - 16$
   

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Correction :

1. $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
   
2. $9y^2 + 12y + 4 = (3y+2)^2$
   
3. $$4a2−16=4(a2−4)=4(a−2)(a+2)4a^2 - 16 = 4(a^2 - 4) = 4(a-2)(a+2)