Théorème de Thalès - Exercices

  Exercice 1

Sur la figure ci-dessous, A ∈ (BM), A ∈ (CN) et (BC) // (MN).

AB = 5cm; BC = 7cm; AN = 4cm

Calcule MN

Corrigé

(BM) et (CN) sont sécantes en A (BC) // (MN) Alors, d’après le théorème de Thalès:

 

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, Les points B, R et A sont alignés ; – Les points B, S et C sont alignés ; – AB = 12 cm, BS = 5 cm, BC = 7,5 cm et BR = 8 cm

• Les droites (RS) et AC sont- elles parallèles

Corrigé

Les droites (AB) et (BC) sont sécantes en B les points B, R, A et B, S, C sont alignés dans le même ordre

   

Les droites (RS) et (AC) sont parallèles

Exercice 3

  Construire un triangle ABC tel que : AB = 6 cm, AC = 3,6 cm et BC = 4 cm 

• Placer les points M  sur le segment  [AB] tel que BM = 4,2cm,
• Placer les points N sur le segment  [BC] tel que BN =  2,5cm
• Tracer la droite passant par les points M et N
• Démontrer que les droites (MN) et (AC) ne sont pas parallèles. 

Exercice4

Soit le triangle ABC tel que:

AB = 12 cm, AC= 5 cm et BC = 13 cm.

. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A

. Calculer la mesure de l'angle ABC au degré près.

. Placer le point M sur le segment [AB] tel que AM = 7 cm. Tracer la droite passant par M et parallèle au côté [AC]. Elle coupe le côté [BC] en N

. Calculer la valeur exacte de MN

Volume : Sphere, Pyramide,Cone, Prisme

 Voici un tableau récapitulatif des volumes

 des solides usuels

Sujet Brevet Maths 2021

Sujet Brevet Maths 2020 Métropole

 

Forrmules de calcul des Aires

 RAPPEL

Quelques formules pour apprendre à calculer les aires de  certaines figures géométriques les plus fréquemment utilisées

Carte Mentale pour démontrer qu'un triangle est rectangle

 

Comment démontrer qu'un triangle est rectangle?

 

Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on utilise les 3 propriétés ci- dessous :

1. Réciproque du théorème de Pythagore

• Si dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

 

Dans le triangle ci-dessous, le côté le plus long est BC donc: si BC² = AB² +AC²  alors le triangle ABC est rectangle en A et admet BC comme son hypoténuse

Pour mieux comprendre, veuillez regarder cette vidéo↓

2. La médiane

• Si dans un triangle la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté , alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.

3. Cercle et Triangle

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un des côtés du triangle est un diamètre du cercle alors le triangle est rectangle.

ABC est un triangle inscrit dans un cercle, son côté AC est le diamètre de ce cercle, alors le triangle ABC est rectangle en B

Maths 6ème - Les Triangles

Définition

Un triangle est polygone qui a trois côtés

• Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°

Le triangle ABC est formé par trois points A,B et C et 3 segments : [AB], [BC] et [AC]

• Les points A,B et C sont appelés les sommets du triangle ABC
• Les segments [AB], [BC] et [AC] sont appelés les côtés du triangle ABC
• Le triangle ABC a aussi 3 angles: 
  
  

• Triangle Quelconque

Définition : Un triangle quelconque est un triangle qui n'a pas de propriété particulière. 

• Triangle isocèle

Définition: Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur et les angles à la base de même mesure

                            Sommet

Base

              

• Triangle Equilatéral

Définition : Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.

                               

                      AB = BC = AC

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois angles ont la même mesure  60°

• Triangle Rectangle

Définition : Un triangle rectangle est un triangle ayant deux côtés perpendiculaires.

                                B

        AC

[AB] est perpendiculaire à [BC]

le côté BC s'appelle l'hypoténuse

L'angle  = 90°

 

Les Quadrilatères - Maths 6ème

• Quadrilatère 

Définition: un quadrilatère est un polygone ayant quatre côtés 

• Parallélogramme

Définition: un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Propriétés

• Les angles opposés sont de même mesure
• Les angles consécutifs sont supplémentaires
• Les côtés opposés sont de même mesure
•  Les diagonales se                                      coupent en leur milieu.

• Rectangle

Définition: Un rectangle est un quadrilatère ayant 4 angles droits.

Propriétés

• Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles 
• Les côtés opposés d'un rectangle ont la même longueur 
• Tous les angles d'un rectangle mesurent 90° 
• Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur 
• Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu

Carré

Définition: un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et tous ses côtés sont de même longueur.

Propriétés

• Les côtés opposés d'un carré sont parallèles
• Tous les côtés d'un carré ont la même longueur
• Les angles d'un carré mesurent tous 90°
• Les diagonales d'un carré ont la même longueur
• Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires 
• Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu 
• Un carré a 4 axes de symétrie: ses diagonales et ses médianes.

Losange

Définition: un losange est un quadrilatère ayant tous ses côtés de même longueur.

   Propriétés  

• Les côtés opposés du losange sont parallèles
• Tous les côtés d'un losange ont la même longueur
• Les angles opposés d'un losange ont la même mesure 
• Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires
• les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu 
• un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. 

Trapèze

Définition: un trapèze est un quadrilatère possédant deux côtés opposés parallèles. 

• Trapèze isocèle

Propriétés

• Dans un trapèze isocèle a les deux angles adjacents de même base sont égaux, et le angles opposés sont supplémentaires.
• Un trapèze isocèle a les deux côtés non parallèles égaux
• Les diagonales d'un trapèze                                isocèle sont égales
• Un trapèze isocèle est un trapèze dont les côtés parallèles ont même médiatrice

Cerf-volant

Définition: un cerf-volant est un quadrilatère dont une des diagonales est un axe de symétrie et qui a deux paires de côtés adjacents égaux) 

Propriétés

• Un cerf-volant a deux paires de côtés consécutifs de même longueur 
• Un cerf-volant a deux angles opposés de même mesure 

• Un cerf-volant a une diagonale qui est médiatrice de l'autre 
• Un cerf-volant a un axe de symétrie qui une de ses diagonales

Probabilités - Exercices Maths Type Brevet

Exercice 1

Une urne contient 3 boules de couleur noire, 9 boules 

de couleur bleue, 2 boules de couleur rouge, 1 boule de couleur verte, 

indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de cette urne.

• Quelle est la probabilité de tirer une boule de couleur verte  ?
• Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue?

Exercice 2

Une urne contient des boules indiscernables au
toucher : cinq blanches, numérotées de 1 à 5 ;
huit noires, numérotées de 1 à 8 et dix grises,
numérotées de 1 à 10. On tire une boule au
hasard.
Quelle est la probabilité de l'événement :

1. Tirer une boule blanche ?
2. Tirer une boule noire ?
3. Tirer une boule qui porte le numéro 4 ?
4. Tirer une boule qui porte le numéro 9 ?

Exercice 2( Brevet 2015 )

Un confiseur lance la fabrication de bonbons au chocolat et de bonbons au caramel pour remplir 50 boîtes.

 Chaque boîte contient 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel.

 1. Combien doit-il fabriquer de bonbons de chaque sorte ?

2. Jules prend au hasard un bonbon dans une boite. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un bonbon au chocolat ?

3. Jim ouvre une autre boîte et mange un bonbon. Gourmand, il en prend sans regarder un deuxième. Est-il plus probable qu’il prenne alors un bonbon au chocolat ou un bonbon au caramel ? 4. Lors de la fabrication, certaines étapes se passent mal et, au final, le confiseur a 473 bonbons au chocolat et 387 bonbons au caramel.

 a. Peut-il encore constituer des boîtes contenant 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel en utilisant tous les bonbons ? Justifier votre réponse.

 b. Le confiseur décide de changer la composition de ses boîtes. Son objectif est de faire le plus de boîtes identiques possibles en utilisant tous ses bonbons. Combien peut-il faire de boîtes ? Quelle est la composition de chaque boîte ?

Exercice 4

Une urne contient six boules numérotées de 1 à 6 , On tire une boule au hasard, on note son numéro, et on la remet dans l’urne.

On tire a nouveau au hasard une boule de l’urne et on note a nouveau son numéro .

1a) Déterminer à l’aide d’un arbre toutes les issues possibles pour cette expérience à deux épreuves.

Exercice 5

Un jeu de 32 cartes est composé de 4 couleurs : trèfles, carreau, pique et cœur.

Chaque couleur est composée de huit cartes : sept, huit, neuf, dix, valet, dame, roi , as.

Chaque carte a la même probabilité d'être tirée.

On tire au hasard une carte parmi les 32.

1/ Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?

 2/ Quelle est la probabilité d'obtenir un neuf ?

3/ Quelle est la probabilité d'obtenir un trèfle ou un pique ?

 4/ Quelle est la probabilité d'obtenir une figure (dame, valet ou roi) ?

5/ Quelle est la probabilité d'obtenir l'as de carreau ?

Brevet Maths - Exercices

Pour vous entraîner au brevet, voici 3 exercices extrait du sujet du Brevet maths 2019

BREVET 2019

EXERCICE 1 ( 10 points )

 Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d'or.

 1. Décomposer 69 ; 1 150 et 4 140 en produits de facteurs premiers.

 2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins. Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?

EXERCICE 2 ( 19 points ) 

Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.

 Pour construire le décor d’une pièce de théâtre (Figure 1), Joanna dispose d’une plaque rectangulaire ABCD de 4 m sur 2 m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (Figure 2). 

                    Figure 1                         Figure  2

Le triangle ADM respecte les conditions suivantes : 

•  Le triangle ADM est rectangle en A 
•   AD = 2  
•  l'angle ADM = 60°

1. Montrer que [AM] mesure environ 3,46 m. 2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure

2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.

3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles AMD, PNM et PDN soient semblables. Démontrer que c’est bien le cas.

4. Joanna aimerait que le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD soit plus petit que 1,5. Est-ce le cas ? Justifier.

EXERCICE 6( 17 points )

Voici deux programmes de calcul.

                                                       

Vérifier que si on choisit 5 comme nombre de départ,

• Le résultat du programme 1 vaut 16.
• Le résultat du programme 2 vaut 28

 On appelle A(𝑥) le résultat du programme 1 en fonction du nombre 𝑥 choisi au départ.

La fonction B ∶ 𝑥 ↦ (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) donne le résultat du programme 2 en fonction du nombre 𝑥 choisi au départ.

 2. a. Exprimer A(𝑥) en fonction de 𝑥.

  b. Déterminer le nombre que l’on doit choisir au départ pour obtenir 0 comme résultat du programme 1.

 3. Développer et réduire l'expression : 

B(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2).

 4. a. Montrer que B(𝑥) − A(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3).

 b. Quels nombres doit-on choisir au départ pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat ? Expliquer la démarche.

Construire les 3 hauteurs d'un triangle

 Définition

Dans un triangle, la hauteur est la droite issue d'un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Construire les hauteurs d'un triangle

Etapes:

• Hauteur issue du sommet A:

 On repère le côté opposé, ici c'est [BC], on trace la droite (AH1) issue de A et perpendiculaire à [BC]

• Hauteur issue du sommet B

 On repère le côté opposé, ici c'est [AC], on trace la droite (AH2) issue de B et perpendiculaire à [AC]

• Hauteur issue du sommet C

 On repère le côté opposé, ici c'est [AB], on trace la droite (AH3) issue de A et perpendiculaire à [AB]

Orthocentre du triangle

Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes. Leur point d'intersection des 3 hauteurs s’appelle l’orthocentre du triangle.